常微分方程的常用解法与应用实例开题报告

1. 研究目的与意义

常微分方程作为《数学分析》的一个重要分支，萌芽于17世纪，建立于18世纪。随着科学的发展，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，如人口发展模型、交通流模型、公司的成本和利润核算等。因此，无论是常微分方程的理论探讨还是实际应用，都具有很好的学术价值和社会经济意义。本选题以常微分方程为对象，介绍一阶微分方程和高阶微分方程的常用解法以及其在Logistic等模型中的应用，以找到常微分方程在解决实际问题中的价值。

通过对常微分方程的常用解法以及如何利用其解决实际问题的研究，认真总结归纳相关方法并形成相关思路。同时，希望能够通过对本次选题的研究掌握查阅文献的方法，培养自身的思考能力。

2. 研究内容和预期目标

1.简单介绍一下常微分方程的相关概念；

2.介绍一阶微分方程的常用解法，包括分离变量法、常数变易法、积分因子法、欧拉方法、matlab求解法等；

3.介绍高阶微分方程的常用解法，包括常系数齐次线性微分方程的特征根法，非齐次线性微分方程的比较系数法、拉普拉斯变换法、一般解法，高阶微分方程的降阶及幂级数解法；

3. 国内外研究现状

Newton(1642-1727)在研究地球绕太阳的运动轨迹时，将二体的运动问题转化为常微分方程，最终在理论上证明了该运动轨迹是一个椭圆，Leibniz(1646-1716)用変量変换求解了一阶微分方程，Euler、Bernoulli等对微分方程的求解都做出了贡献。19世纪末，Poincare提出了常微分方程定性理论，并直接根据方程的特点分析轨道的拓扑结构，而Laypunov提出了常微分方程稳定性理论，二十世纪初，Birkhoff提出了拓扑动力系统理论，给常微分方程的研究带来了突破性进展。

国内对常微分方程的研究起步较晚，但是在冯祖荀、程毓准等先驱的带动下，我国大学展开了微分方程的系统研究，包括常系数非齐次线性方程的解法、达朗贝尔的方法、求特解的各种方法和解高阶微分方程的方法等。20世纪50年代，我国在常微分方程稳定性、结构稳定性等方面做出了显著成果，特别是在秦元勋的带领下，解决大量实际问题，如大型体育馆通风设计问题，并在此基础上写成《常微分方程近似解析解的理论与实践》，开创了常微分方程近似解析解这一分支。现如今，学者的研究主要针对常微分方程的边值问题以及常微分方程在数学建模中的应用。

4. 计划与进度安排

1.去图书馆查找文献，通过在图书馆和网络上查找与之相关的文献，经过阅读、摘录、编辑等工作，进而全面的了解常微分方程的常用解法。

2.求教导师，通过与导师的交流，询问相关的问题，充实自己的材料。

3.结合自己所学理论进行逻辑分析，再结合以上的基本工作，通过自己的理论分析能力给出完整的论文。

5. 参考文献

[1]王高雄,周之铭,朱思铭.常微分方程[m].3版.北京:高等教育出版社,2006.

[2]肖菊霞.几类一阶常微分方程及其解法[j].考试周刊,2014,(63):50-51.

[3]刘倩,宋莹炯,鲁志波,张冬燕.高阶常系数线性常微分方程的新颖解法[j].高等数学研究,2020,23(03):61-63.