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1. 研究目的与意义

目的： 学习已知的连续映射与连续函数的性质对比，找出之间的差别和共同点，更好的理解连续映射。

2. 国内外研究现状分析

数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一段时期才完成的工作．在数学的发展过程中对所研究的问题不断地加以抽象这种做法是屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某一个方面）的精粹而进行的一次提升，是一个去粗取精的过程．一方面它使我们对空间和连续有更为纯正的认识，另一方面也包含了无法列入以往的理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量空间处理的映射空间）．在数学中，连续是函数的一种属性。

直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。

如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容：

（1) 资料来源：点集拓扑讲义（第三版） 熊金城编；

（2）本文将总结在实数空间上， 闭区间连续函数的一些性质。我们将类似给出在一般空间上， 连续映射的一些性质。

4. 研究创新点

从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，它们的定义域和值域都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来定义度量空间之间的连续映射，然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射