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1. 研究目的与意义

诸多物理现象都可用扩散方程来描述，这类间题包括化学扩散，热传导，医学，生化方面和一定的生物反应过程。扩散求解和高精度计算成为提高数值格式整体精度和速度的一个关键因素。近年来， 随着科学和工程计算的需要，人们对计算精度和速度的追求越来越高，这些需求推动着扩散方程求解算法的不断发展。一方面为了提高数值精度，使用较少网格点所构造的紧致格式得到了广泛的应用，其巧妙的构造格式既带来了精度的提高，同时也大大增加了求解方程时候的计算复杂度；另一方面，多重网格方法的出现，极大地提高了扩散方程的求解速度。两者的结合，能同时有效提高数值精度和计算速度，因而在近年来也得到了大量的应用。虽然紧致格式加多重网格与传统的差分格式相比具有明显优势，但是在应用时也存在一些不便。 由于传统的紧致格式构造比较复杂，而且需要有复杂的边界条件处理以保证达到相应的精度多重网格的思想虽然简单，但是实际的插值算子和投影算子构造也很复杂当多重网格与紧致格式相结合时，程序编写变得更困难。本文拟提出在空间方向上采用拟谱方法来离散扩散方程，我们主要考虑该数值方法的稳定性问题。

2. 国内外研究现状分析

八十年代初，Evans和Abdullah设计了分组显式方法保证了数值计算的稳定性，同时由于显式求解而使该方法具有很好的并行性质，它是不同类型Saulyev非对称格式的恰当组合。在此基础上，张宝琳提出利用 Saulyev非对称格式构造分段隐式的思想，并恰当的使用交替技术建立了多种显一隐式和纯隐式交替并行方法，取得了稳定性和并行兼顾的研究结果.另外，Peaceman与Rachford提出的交替方向隐式方法具有一些相当好的性质。

3. 研究的基本内容与计划

基于区域分解和分组显式思想，给出了求解二维扩散方程的一种新的有限差分并行算法.首先构造了逼近扩散方程的四个新的差分格式，然后将求解域划分为四个子域，在奇数或偶数时间层上实现算法，并证明了格式的无条件稳定性，最后数值试验说明算法的适用性，并且时间步长充分小的前提下误差关于空间达到2阶。

n 查阅文献，了解目前的国内外研究动态。要求查阅相关文献书约10篇（本），综述课题的研究现状。

n 分析、总结资料文献内容，自己理解体会论文的主体，并归纳好相关内容；

4. 研究创新点

特色与创新之处在于，构造的新的差分格式虽是隐式的，但利用分组显式思想可显式求解.并且，差分格式的交替使用导致截断误差中的主要项符号相反，从而抵消.数值试验也验证了此类算法的有效性，且关于空间的收敛速率达到2阶，以及也适用于二维变系数扩散问题。