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1. 研究目的与意义

目的：利用求解线性方程组来解决生活中的问题显然已经成为普遍的方法，预条件的迭代和收敛性分析就显得尤为重要。在有限元动力模型修正中，就常常遇到大型稀疏线性方程组的求解。此时就能将两者结合起来，选取适当的方法，就能解决有限元的模型问题，与工程背景的结合，充分发挥了迭代法在生活中的应用。

意义：检验学生对所学的知识创造性研究问题的能力，锻炼学生利用理论知识解决实际问题的能力，培养学生掌握科学研究的一般方法。

2. 国内外研究现状分析

尽管经典的Jacobi，Gauss-Seidei和SOR方法解线性方程组时十分有效，然而我们可以发现，在解决一些线性问题的时候经常会出现迭代不收敛和迭代速度较慢，达不到应有的效率，此时对于一些线性方程组进行预条件处理就显得很重，下面的是查阅文献中较为有代表性的。对于线性方程组Ax=b ，给出了系数矩阵对角最大化处理，将矩阵转化为严格对角占优和不可约弱对角占优矩阵，此时可以使Jacobi和Gauss-Seidei迭代法进行计算，具体的方法在梁凯豪，高凌云教授的Jacobi和Gauss-Seidei迭代法的预处理中有详细的说明。雷刚教授在基于矩阵分裂的预处理（I S)后SOR迭代法收敛性分析中提到了预处理因子P=(I S),再对PA进行含参数的分裂。得到改进的SOR方法，不仅加速了SOR迭代法的收敛性，而且优于一般的预处理方法，用矩阵的性质和谱半径等方面的知识来进行证明其方法的可行性，此法基于强大的理论基础，使用简单有效。对于大型稀疏矩阵而言，对称的正定矩阵，在一般的不完全分解后，不能保证其是正定的，关键是如何选取分裂后的M,使得谱条件数得到改善，正确方法是确定一个可选择参数乘子，在确定正定后进行计算并且比较了预处理前后的效率。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容：

（1) 学习数值分析中的经典迭代法和在此基础上的预处理方法，了解最新动态及现状，比较各种方法的优缺点。

（2）将迭代预处理与共轭梯度法相结合，进行收敛性分析、算法设计和科学计算。

4. 研究创新点

(1) 将迭代法的预处理运用到有限元模型中，并且给出编程进行运算。

(2) 提出了一个新的预处理因子，构造了一个研究的新方法。