全文总字数：378字

1. 研究目的与意义

在概率论和数理统计中, 特征函数是处理许多概率问题的有力工具. 它能把寻求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算, 还能把求随机变量的各阶原点矩（积分运算）转化成微分运算. 研究主要从论述特征函数的基本概念出发, 以特征函数的性质为理论依据, 重点论述了怎样用特征函数去求某些随机变量的分布和证明一些等式, 以及求随机变量序列的极限的分布的问题, 并突出性的探究了特征函数在求定积分与级数求和中的应用, 还给出了一些具体的例子.

同时， 在概率论和数理统计中, 随机变量的分布函数可以全面的描述随机变量的统计规律, 不过有时候随机变量的分布函数和密度函数这些工具使用起来并不方便, 比如要求 个独立随机变量和的分布时, 就需要算 次卷积, 这是一件很麻烦的事情. 然而我们若换用特征函数来求, 就能把积分运算转化成乘法运算, 从而使计算变得简单易行. 特征函只依赖于随机变量的分布函数, 又具有良好的分析性质, 因而是研究概率与数理统计中随机变量分布的一种有力工具. 除此之外, 特征函数在其它科目中也有一定的应用价值, 因此研究特征函数的应用具有重要的意义.

2. 国内外研究现状分析

特征函数是概率论和数理统计中的一个很重要的知识点，它是处理概率等一些数学问题上的有力工具，因此，许多中外学者对此进行了研究。

茆诗松，程依明，濮晓龙(2004)和格涅坚科（1956）研究了特征函数的产生、定义, 总结并证明了特征函数的一些重要性质, 还给出了特征函数的一些具体应用和一些常用分布的密度函数、分布函数、特征函数. 饶贤清，马江山（2001）和P. Levy（1925）在分析特征函数的性质和连续性定理的基础上, 给出了特征函数在强大数定律中的应用, 徐亦霞（2011）主要研究了九种常用分布的特征函数，熊丹（2007）.研究了特征函数的定义及性质给出了特征函数在一些积分计算中的秒用. 崔小兵，徐姗姗（2010）和Lukacs E. (1970)通过对特征函数的各种应用的探讨和分析得出了一列收敛的正态分布的分布函数的极限函数也是正态分布的分布函数. 华东师范大学数学系编（2001）通过对积分和级数的讨论给出了积分和级数的性质、算法及一些应用.，Bisgaard, T. M., Sasvri, Z. (2000)讲述了相关概念主要有距母函数和概率母函数，这些国内外研究使得人们对特征函数有了更加深刻的认识和理解。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容、方法：

　 1系统介绍特征函数的定义和一些理论性质

2结合一些实际问题，讲解分析特征函数的应用

4. 研究创新点

1详细阐述了特征函数在概率论与数理统计中的一系列比较好的应用。

2将一些不错的算法应用到了数学分析中的求积分与级数求和的计算之中，比如在求定积分的时候, 可以假设随机变量把求积分的问题转化成为求随机变量的特征数的问题, 再利用特征函数求得积分值, 具有一定的理论意义和实践价值。