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1. 研究目的与意义

Lanczos方法是将矩阵A经相似变换约化为三对角阵以求解特征值问题的一种方法。对于对称矩阵的Lanczos方法，与Householder方法不同，Lanczos方法无需对原矩阵A作变换，它的主要运算是矩阵A和向量的乘积，因而特别适用于求解稀疏矩阵的特征值问题。而且当矩阵阶数很高时，在这个三对角化过程尚未完成之前即可得到A的一些最大的和最小的精度相当高的特征值的近似值。因此，Lanczos方法特别适用于求解大型稀疏矩阵的部分值问题。解大型稀疏线性方程组Ax=b已经有许多方法，但这些方法基本上是针对对称正定矩阵或非零元分布较有规律的矩阵。对于一般的特大型稀疏矩阵的有效解法还在寻找过程中，其中一个途径是从Lanczos方法入手，采取各种变形，如求解病态线性方程组的收缩Lanczos方法以及解大规模非对称线性方程组的Lanczos方法和精化Lanczos方法。遗憾的是，在Lanczos过程中通常会发生算法中断或数值不稳定的情况，所以本文将给出求解大型对称线性方程组的收缩Lanczos方法，即Dlanczos方法。而精化的Lanczos方法用于计算大规模对称矩阵特征对，与传统的Lanczos方法不同，主要是利用精化向量的优越性，用精华向量替代Ritz向量，精化Lanczos重启方法和精化Lanczos压缩重启求近似特征对，理论上分析它们与传统方法的差别及优越性。

2. 国内外研究现状分析

Lanczos算法是一种将对称矩阵通过正交相似变换变成对称三对角矩阵的算法，以20世纪匈牙利数学家Cornelius Lanczos命名。Lanczos算法实际上是Arnoldi算法对于对称矩阵的特殊形式，可应用于对称矩阵线性方程组求解的Krylov子空间方法以及对称矩阵的特征值问题。在国内研究方面，清华大学数学科学系的贾仲孝教授，近年来主要从事计算数学和科学工程计算方面的研究工作，他的研究成果在国际上有相当大的影响，被国际学术界广泛引用。他的论文大规模矩阵计算的研究，解大规模非对称矩阵特征问题的精化解大规模非对称矩阵特征问题Arnoldi方法的一种变形数值计算与计算机应用，计算最大和最小奇异值和奇异向量的两个精化Lanczos算法，计算部分奇异值分解的隐式重新启动的Lanczos双对角化方法和精化的双对角化Lanczos方法以及解大规模非对称线性方程组的Lanczos方法和精化Lanczos方法，介绍了Lanczos方法在大规模非对称矩阵特征问题中的应用，介绍了Lanczos方法的变形，即精化的Lanczos方法，重启的Lanczos方法和Lanczos方法的双对角化，对于Lanczos方法的研究做出了很大的贡献。在国外研究方面，Saad Y 所写的关于大型特征值问题的计算方法, Feng tianxiang 所写的关于矩阵的初等变换的应用计算的讨论，Golub G H和Van Der Vorst H A 所写的在第二十世纪，特征值的计算问题等等一些文章资料，介绍了矩阵计算的方法，矩阵的初等变换，矩阵特征值的计算以及大型矩阵特征值问题的计算方法，也为Lanczos方法的研究奠定了基础。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容：

主要研究lanczos方法求解方程组和特征值，讨论精化的lanczos方法和收缩技术，并通过数值试验进行算法间的比较，从而验证理论上的分析。具体包括：

1.lanczos方法的简单介绍

4. 研究创新点

其它关于Lanczos方法研究的文章，要么是研究其在解矩阵特征值方面的问题，要么就是研究在解线性方程组中的问题，还有就是介绍Lanczos方法的改进，如精化的Lanczos方法，收缩的Lanczos方法和重启的Lanczos方法等，这些文章因为只是介绍Lanczos方法的一个方面，所以内容深度比较深，但是关于Lanczos方法的研究方面不够全面细致，所以，本篇论文的创新之处就在于将Lanczos方法在特征值问题中的应用与求解方程组问题结合到一起，同时还讨论了精化的Lanczos方法和收缩技术，并通过数值试验进行算法间的比较来验证理论上的分析，从而使得本篇论文的内容比较丰富，包含的理论知识比较广，关于Lanczos方法的研究的内容更具体多样。