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1. 研究目的与意义

现代科学、技术、工程的大量数学模型都可以用微分方程来描述，很多近代自然科学的基本方程本身就是微分方程。从微积分理论形成以来，人们一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断的取得了显著的成效。遗憾的是，绝大多数微分方程定解的解不能以实用的解析式来表示。如数值天气预报、航天、和水利等诸多流体力学问题中的微分方程，由于流体力学的非线性、粘性和激波等复杂自然现象，使其求解极为困难；很多情况下，也根本没有办法得到方程理论上的精确解。因此今天掌握和应用微分方程数值解的相关理论和相应的数值方法是很有必要的。

泰勒公式是大学数学中的一个重要知识,它有三种形式,即皮亚诺型、拉格朗日型、积分型泰勒公式。每一种形式的泰勒公式都有着相应的应用,因而泰勒公式的应用是广泛的。它在近似计算中的作用尤其突出,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。正是由于这个原因，泰勒公式是微分方程数值解里差分格式构造的基础，利用泰勒展开，我们可以得到差分格式的截断误差，从而得到差分格式满足相容性，进而可以进一步分析收敛性，本课题基于此展开研究。

2. 国内外研究现状分析

泰勒公式的应用一直以来都属于数学领域里重要的研究内容。泰勒公式的主旨是想要以N次多项式来逼近一个具有N 1次导数的函数。这样做是为了将一些复杂的东西简化，以便于解决实际应用中的问题。这种用简单函数来逼近复杂函数的思想在数学中是很常见的。关于泰勒公式的应用，已经有很多专家学着对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等。虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学着还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很大的空间。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容、方法：

首先，分析一个变量的函数的泰勒展开式余项的估计；其次，分析多个变量的函数的泰勒展开式；最后，举例分析泰勒公式的应用以及运用泰勒公式推导五点差分和九点差分格式。

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4. 研究创新点

1．分析多个变量的函数的泰勒展开式。

2．运用泰勒公式推导五点差分和九点差分格式。