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1. 研究目的与意义

抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。作为数学的一门学科，抽象代数主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、向量空间和代数。事实上，对抽象代数的研究是随数学更严格化的要求而发展起来的，并促使人们形成了对全部数学和自然科学的基础科学的基础性逻辑假设的整体认识。现今，几乎没有哪一个数学分支不用到代数学的结论。抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵、变换等，这些物集分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群、环、galois理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。而其中的群的理论是近代数学的一个重要分支，它在物理学、化学、信息学等许多领域中都有着广泛的应用。

环是抽象代数中一类重要的代数系，我们常常碰到的是具有两种运算的代数系，其中环就是一类非常重要的具有两种运算的代数系。直到十九世纪中期，数学家仅知道环的个别例子：由代数方程理论的需求而出现的数环，即复数的子环，以及数论中整数的剩余类环，环的一般概念却不存在。

非交换的环与代数的最初例子在汉密尓顿和格拉斯曼的工作中可见（1843-1844）。这些是四元数体、八元数代数和外代数。在1870年的论文中出现了幂零元的概念，由此发展出的结果和技巧被广泛应用于有限维代数的研究。随后，相继出现了（结合）环、除环和域上代数的一般概念，但人们称环为序（order）。术语环后来被希尔伯特（hilbert）引入。

2. 国内外研究现状分析

高斯早在十九世纪中叶就证明了高斯整数环是唯一分解整环。在高斯的理论基础上，高斯整数环是欧式环和主理想环相继被证明。

国内方面，1985年，田校贵教授研究了高斯整数环的理想和商环，给出了子环s成为理想的两个充要条件：

1999年，魏裕博研究了高斯整数环中的单位和素元，给出了高斯整数环中一些素元及其非素元的形式；

3. 研究的基本内容与计划

高斯整数环是很典型且构造特殊的一类环，在环论中占很重要的地位，基于其重要的地位和价值，既融入环论的思想，同时又有数论的思想贯穿其中，数学家、国内外学者们得出了一些有重要意义的理论结果。笔者鉴于前人的研究思路和研究方法，在高斯整数环研究的理论基础上寻找新的方法，在前人得到的部分成果及基础上，又进一步拓展研究。本课题针对高斯整数环素元的形式及高斯整数环商环性质进行了深入研究和部分的创新：

1.对高斯整数环的基本性质进行分析和证明，详细论证了高斯整数环是欧氏环，高斯整数环是主理想环，高斯整数环是唯一分解环。

2.讨论了高斯整数环素元的形式，给出了一些整数素数的表达形式和一些非整数素元的表达形式，并且给出了高斯整数环的几种非素元的表达形式，且证明给出高斯整数环中单位的形式。

4. 研究创新点

笔者鉴于前人的研究思路和研究方法，在高斯整数环研究的理论基础上寻找新的方法，在前人得到的部分成果及基础上，有进一步拓展研究。本课题针对高斯整数环素元的形式，非素元的形式，以及高斯整数环商环性质进行了深入研究和部分的创新：

1.对高斯整数环的基本性质进行分析和证明，详细论证了高斯整数环是欧氏环，高斯整数环是主理想环，高斯整数环是唯一分解环。

2.讨论了高斯整数环素元的形式，给出了一些整数素元的表达形式和一些非整数素元的表达形式，并且给出了高斯整数环的几种非素元的表达形式，并证明给出高斯整数环中单位的形式。