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1. 研究目的与意义

丢番图方程是数论中最古老的一个分支，它的内容及其丰富，基本上是由方程的形式决定分类的。其研究成果在数论研究，有限单群的研究以及高精度对数计算中均有重要的应用，与代数数论，代数几何，组合数学等都有着密切的联系。

本次毕业设计计划研究一类特殊的丢番图方程：x y z=1的情况。主要讨论在xyz为某些素数幂时方程的解的情况。

本次毕业设计要求学生能够自主学习初等数论中的相关知识点，并能够应用所学的知识，利用同余，指数等工具，讨论特殊的一类丢番图方程解的结果。

2. 国内外研究现状分析

丢番图方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓丢番图方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。

古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。今天我们称整系数的不定方程为「丢番图方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。

丢番图有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无数多解。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容：

关于丢番图方程1 x y=z的一类特殊情况的研究。

研究计划：

4. 研究创新点

利用初等数论的同余理论讨论丢番图方程的正整数解。

学习研究国内国外关于丢番图方程已有的一些研究成果。

应用初等数论中的同余，指数等工具，研究该类丢番图方程在特殊情况下的整数解问题。