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1. 研究目的与意义

因子模型是一种用来分析隐藏在表面现象背后的因子作用的一类统计模型。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息，原始的变量是可观测的显在变量，而假想变量是不可观测的潜在变量，称为因子。因子模型具有能够探索不易观测或不能观察的潜在因素的特点，在社会调查、气象、地质、经济等方面有广泛的应用。

在传统的因子分析模型中，可观测变量被表示为潜在因子的线性组合，外加一个误差项，潜在因子的个数少于可观测变量的个数。由于在许多研究领域存在潜在因子之间的非线性关系，如因子间的交互作用项、平方项等，因此有必要把传统的、线性的因子分析模型扩展到非线性的因子分析模型。

2. 国内外研究现状分析

McDonald教授于1962年最早提出了非线性因子分析模型，随后Etezadi-Amoli发展了一种相对复杂的迭代算法以估计模型参数，在此基础上，主成分法、极大似然估计法以及最小二乘法等模型参数估计方法被相继提出。这些方法具有共同的特点：用可观测变量的乘积人为地构造一个可观测变量来表征非线性项，或者用潜变量得分的乘积来定义交互作用项、平方项等非线性项。然而，这些方法都存在一些缺点和困难，例如：(1)计算非线性项的方差、协方差常常是繁琐的；(2)包含非线性作用项的可观测变量的分布不是正态的，并且非常复杂。为了做出正确的统计推断，需采用渐进分布自由理论（Asymptotically-distribution-free theory，ADF）但是ADF理论要求非常大的样本量以达到其渐近的性质。而且ADF估计中的权重矩阵随可观测变量的个数增加而快速增大，从而带来计算上的困难；(3)这些方法没有建立其统计学性质。

针对上述问题，近年来，国内外学者提出了基于贝叶斯理论的估计模型参数的方法。在这些方法中，引入了马尔可夫蒙特卡洛方法(Markov chain Monte Carlo，MCMC)来估计参数。

此外，EM(Expectation-Maximization)算法也是近代统计学发展起来的比较有效的统计计算方法之一，它由E步和M步组成，经过多次迭代得到所要的结果。此方法最初由Dempster等人于1977年提出，主要用来计算后验分布的众数。这种算法有时我们也称它为数据添加算法，它不是直接对复杂的后验分布进行极大化或进行模拟，而是在观测数据的基础上加上一些潜在数据,从而简化计算并完成一系列简单的极大化或模拟。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容、方法：

1）了解广义因子模型及其模型参数的求解方法；

2）选取生活中的某一具体样本，建立非线性因子模型；

4. 研究创新点

1）详细阐述因子模型及其模型参数的求解方法；

2）使用EM法、MCMC法分别对同一含有非线性因子的统计模型进行参数估计求解，并进行对比。