1. 研究目的与意义

压缩映射原理在解决数学分析、高等代数、微分方程问题不同的作用，利用压缩映射原理解决问题时，方法变得简单，容易理解。 文章运用压缩映射原理在一些数学分支中应用的具体实例，来说明学科间的相互联系与相互贯通。借此探寻学科向的横向联系的途径。

2. 国内外研究现状分析

压缩映射原理：设 是度量空间, t是x 到x 中的映射,如果存在常数 ，0 1，使得对所有的x, y∈x，有 d ( tx, ty) ≤ d ( x, y)成立,则称t是压缩映射.

随着不断的发展，压缩映射原理被不断的进化，横向发展，在学科之间建立了桥梁，深入研究压缩映射原理的本质， 其思想可以渗透到数学的许多分支中。如在高等代数方面，求数列极限方面，证明常微分方程组的解的存在性和唯一性，把压缩映射原理引入空间等领域来解决问题。

2007年10月 刘增印，陈爱江在《保定师范专科学校学报》中提出关于banach空问压缩算子方程tx=x解的3种迭代法，x_{n 1}=tx_n迭代mann迭代、ishikawa迭代。

3. 研究的基本内容与计划

压缩映象原理, 它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的工具. 随着现代电子计算机技术的发展,我们在解方程(包括常微分方程,偏微分方程,积分方程,差分方程,代数方程等)的过 程中,大量使用的是逐次逼近的迭代法.几乎可以这样说:对一个方程,只要我们找到一个迭代公式,就算解出了这个方程(当然我们还要考虑迭代公式的收敛性, 解的稳定性和收敛速度等问 题) .但是,在逐次迭代中,我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列,否则就是毫无意义的了.而选代法解方程的实质就是寻求映射的不动点.在通常求映射的不动点的方法中,最简单的就是下面我们所要研究的压缩映象定理.

4. 研究创新点

压缩映像原理即Banach不动点原理在求一些数列极限和方程近似解中的应用。通过讲述了不动点原理在隐函数存在，线性方程组的迭代解,常微分方程，积分方程解的存在性和唯一性方面的重要应用，发现各类方程的求解过程常可转化为求映射的不动点，并可通过逐次逼近法求不动点。