1. 研究目的与意义

G．康托尔引入了直线上的一些点集拓扑概念，探讨了前人从未碰到过的结构复杂的实数点集,这是集合论的开端。序数是1883年, G．康托尔开始研究有序集，特别是其中的良序集时引入的。序数可以比较大小，而且任一序数之后，恰有一个在大小顺序上紧紧尾随的序数。因此，后来G．康托尔给出了序数的一种系统的表示法，相当于十进制之用于自然数。利用序数可以把良序集编号，并把数学归纳法推广到自然数以外去。序数的研究加深了对基数的理解。对序数拓扑性质的研究有利于我们更全面的理解集合论，而集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域，因此对序数拓扑性质的研究是很有意义的。

2. 国内外研究现状分析

拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。 集合论之前的数学界只承认潜无限，集合论则引入了实无限，自然数不是一个一个地潜在地向无限变化，而是一下子以完成的姿态呈现在人们面前。用超限基数和超限序数刻画的无限集，都是实无限。因而一开始并不被数学界所完全接受。但是后来，从非欧里得几何学的产生开始的对数学无矛盾性（相对无矛盾性）的证明把整个数学解释为集合论（见证明论、数学基础），集合论成了数学无矛盾性的基础，集合论在数学中的基础理论地位就逐渐确立起来。 19世纪末20世纪初，人们发现了一系列集合论悖论，表明集合论是不协调的，这使得人们对数学推理的正确性和结论的真理性产生了怀疑，触发了第三次数学危机。

3. 研究的基本内容与计划

1.序数的定义2.拓扑性质的主要内容3.序数的拓扑性质（正则性、正规性、仿紧性等）4.集合论的发展 为了写好论文我到中国期刊网、中国知识网和中国数字化期刊群查找相关论文的发表日期、刊名、作者，接下来要到图书馆四楼过刊室查找相关文献，到电子阅览室查找相关期刊文献. 从图书馆借阅相关书籍，仔细阅读，细心分析，通过自己的耐心总结、研究，老师的指导、改正，争取做好毕业论文工作。计划：1.阅文献，了解研究动态，做开题报告。2013.1.82013.2.26 2.理论分析，利用所学知识撰写论文初搞。2013.3.52013.3.253.撰写论文修改和定稿。2013.3.252013.4.154.制作 PPT文件，答辩。2013.4.152013.5.3

4. 研究创新点

集合论是关于无限集合和超限数的数学理论，把实无限引入数学。利用序数可以把良序集编号，并把数学归纳法推广到自然数以外去。序数的研究加深了对基数的理解，将基数等同于一个序数，这就解决了基数比较大小的问题。