相似矩阵及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

在研究向量空间中线性变换时，对于给定空间的一组基，线性变换可以用矩阵表示；对于不用的基，线性变换对应的矩阵不同。

此时，线性变换在向量空间不同的基下的矩阵是相似的，这就要求我们确定空间中一组基使得线性变换在这组基下有最简单的形式（可对角化的研究对角矩阵；不可对角化的研究jordan矩阵）。

矩阵的相似保留了矩阵的许多性质，因此对于矩阵的研究可以通过研究更简单的相似矩阵来解决问题。

2. 研究内容和预期目标

研究内容：⒈方阵的特征值与特征向量以及其求法；⒉与对角阵或若当形矩阵相似理论，可相似对角化的充要条件，包括：①矩阵有n个线性无关的特征向量，②每个特征值的几何重数等于代数重数，③矩阵的最小多项式无重根，④特征子空间维数的和等于n,⑤矩阵的初等因子都是一次的，⑥对于每个特征值 ；⒊应用实例：在经济领域上应用相似矩阵理论巧妙解决经济问题；基因进化与特征值的实验关系问题等等

3. 国内外研究现状

相似矩阵在国内外已有一定的研究。

早在十九世纪末，人们在研究行列式的性质和计算时，提出了对角矩阵的概念，由于计算机的发展，更是为相似矩阵对角化的应用开辟了广阔的前景，它经常出现在诸如可用于求解微分方程组，用于研究数理统计量的分布，还有用于研究集合曲面的标准形等不同的科技领域中，这就使得对角矩阵成为计算数学中应用及其广泛的矩阵。

4. 计划与进度安排

本文将分为三个部分来撰写，第一部分讲解相似矩阵发展的历史；第二部分从线性变换在空间一组基下的矩阵出发，研究此矩阵的特征值、特征向量，介绍矩阵相似的概念、性质以及条件，然后介绍矩阵可对角化的充要条件，以及不可对角化的矩阵所具有的最简单形式（Jordan矩阵）；最后介绍相似矩阵在科学研究中的作用。

5. 参考文献

[1] 王萼方，石生明.高等代数（第三版）[M].北京:高等教育出版社，2008. [2]王积社、杨晓鹏编著.高等代数典型问题精讲-思想#8226;方法#8226;技巧[M].北京:科学出版社，2010.5 [3]杨子胥编著.高等代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2007.1 [4]刘丽编著.高等代数（保险精算系列教材）[M].成都：西南财经大学出版社，2008.7 [5]周忠国.相似矩阵与线性变换[J].科技创新导报，2015.8（c）-0024-02 [6]李亦芳、张环理、张丹.相似矩阵的性质及其应用[J].河南教育学院学报（自然科学版），2005年6月第14卷2期 [7] David Witte. Products of similar matrices[J].美国数学学会期刊，1998.4